Question

14．已知f（x）=x³+2x²-4x+5
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[-3，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）令f'（x）＞0，得函数f（x）的单调增区间；令f'（x）＜0，得函数f（x）的单调减区间；
（2）判断函数的单调性，求出函数的极值以及端点值．由此能求出函数在[-3，4]上的最值．

解答 解：（1）f（x）=x³+2x²-4x+5，
可得f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=（3x-2）（x+2）＞0，
得x＜-2或x＞$\frac{2}{3}$，
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）；
令f'（x）=（3x-2）（x+2）＜0，
得-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
所以函数f（x）的单调减区间为（-2，$\frac{2}{3}$）．
（2）x∈[-3，4]，因为在[-3-2）上，f'（x）＞0，
在（-2，$\frac{2}{3}$）上，f'（x）＜0，x∈（$\frac{2}{3}$，4]，f'（x）＞0；
所以f（x）在（-2，$\frac{2}{3}$）单调递减，x∈[-3-2），x∈（$\frac{2}{3}$，4]，函数是增函数，
f（-3）=8，f（-2）=13，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{95}{27}$，f（4）=85
所以x=$\frac{2}{3}$时，[f（x）]_min=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{95}{27}$．
当x=4时，[f（x）]_max=85．

点评 本题考查函数的单调区间和函数的最值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．