Question

记满足如下3个性质的函数为“Ⅰ型函数”：
①对任意a，b∈R，都有g（a+b）=g（a）•g（b）；
②对任意x∈R，g（x）＞0；
③对任意x＞0，g（x）＞1．
（1）若函数y=g（x）为“Ⅰ型函数”，求g（x）•g（-x）的值；
（2）若函数y=g（x）为“Ⅰ型函数”，证明：当x＜0时，g（x）＜1，且函数y=g（x）在R上是增函数；
（3）若函数y=g（x）为“Ⅰ型函数”，且关于x的方程g（|2^x|-1）•g（3-a）=1有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,新定义,函数的性质及应用

分析：（1）依题意，令a=b=0，可求得g（0）=1，从而可得g（x）•g（-x）=g[（x+（-x））]=g（0）=1；
（2）当x＜0时，-x＞0，g（-x）＞1，结合g（0）=1，易证得g（x）=

1

g(-x)

∈（0，1）；再利用单调递增函数的定义，令x₁＜x₂，可证得g（x₁）＜g（x₂），从而使结论成立；
（3）由（2）知，函数y=g（x）在R上是增函数，又g（a+b）=g（a）•g（b），g（0）=1，故（|2^x|-1）+3-a=0有解，分离参数a，利用指数函数的单调性质，可求得实数a的取值范围．

解答： （1）解：∵对任意a，b∈R，都有g（a+b）=g（a）•g（b），
∴令a=b=0得：g（0）=g²（0），又对任意x∈R，g（x）＞0，
∴g（0）=1，
∴g（x）•g（-x）=g[（x+（-x））]=g（0）=1；
（2）证明：∵函数y=g（x）为“Ⅰ型函数”，由（1）知g（x）•g（-x）=g（0）=1，又?x＞0，g（x）＞1，
∴当x＜0时，-x＞0，g（-x）＞1，
∴g（x）=

1

g(-x)

∈（0，1）；
令x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，g（x₁-x₂）=g（x₁）g（-x₂）=

g(x1)

g(x2)

＜1，又对任意x∈R，g（x）＞0，
∴g（x₁）＜g（x₂），
∴函数y=g（x）在R上是增函数；
（3）∵函数y=g（x）为“Ⅰ型函数”，且关于x的方程g（|2^x|-1）•g（3-a）=1=g（0）有解，由（2）知函数y=g（x）在R上是增函数；
∴（|2^x|-1）+3-a=0有解，
∴a=|2^x|+2＞2，
∴实数a的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，理解新定义“Ⅰ型函数”是关键，考查函数的单调性的判定，考查等价转化思想与综合分析、运算能力，属于难题．