Question

正项无穷等比数列a_n的前n项和为S_n，若

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=1，则其公比q的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题设条件分2种情况讨论，①，q=1时，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

n

n+1

=1，成立；②，q≠1时，

lim

n→∞

a1(1-qn) 1-q

a1(1-qn+1) 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+1

=1，解可得q的范围，综合可得答案．

解答：解：∵正项无穷等比数列a_n的前n项和为S_n，且

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=1，
分情况讨论：
①，q=1时，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

n

n+1

=1，
②，q≠1时，

lim

n→∞

a1(1-qn) 1-q

a1(1-qn+1) 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+1

=1，
∴0＜q＜1．
综合可得0＜q≤1，
故答案为：（0，1]．

点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．