Question

设（x-1）³¹（2x-1）¹⁹⁸¹=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，求：
（1）a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₂；
（2）a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+2012a₂₀₁₂．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）由所给的等式可得a₀=1，在此等式中，令x=1，a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₂的值．
（2）把所给的式子两边同时对x求导，再令x=1，即可求得a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+2012a₂₀₁₂ 的值．

解答： 解：（1）由（x-1）³¹（2x-1）¹⁹⁸¹=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，可得a₀=1，
在此等式中，令x=1，可得0=1+a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₂，故a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₂=-1．
（2）把所给的式子两边同时对x求导，可得31×（x-1）³⁰（2x-1）¹⁹⁸¹ +2×1981（x-1）³¹（2x-1）¹⁹⁸⁰=a₁x+a₂x₂+a₃x₃+…+a₂₀₁₂x_²⁰¹²，
在此等式中，令x=1，可得0+0=a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+2012a₂₀₁₂ ，
故a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+2012a₂₀₁₂=0．

点评：本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．