Question

12．f（x）=e^ax-x-1，其中a≠0，若对于一切实数x∈R，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是{1}．

Answer 1

分析 对a分类讨论知a＞0，利用导函数求出函数f（x）的最小值f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-1，只需求出最小值≥0恒成立，再构造函数g（t）=t-tlnt-1，（t=$\frac{1}{a}$），继续求出函数g（t）的最小值，进而得出a的取值．

解答 解：若a＜0，则对一切x＞0，
∵e^ax＜1，
∴f（x）=e^ax-x-1＜0，这与题设矛盾．
又a≠0，故a＞0．
∵f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
当x＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$时，f（x）取最小值f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-1，
于是对一切x∈R，f（x）≥0，∴$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-1≥0恒成立，
令g（t）=t-tlnt-1，（t=$\frac{1}{a}$），则g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
∴当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1-1=0．
∴当且仅当 $\frac{1}{a}$=1，即a=1时，①式等号成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．
故答案为：{1}．

点评 考查了分类讨论和利用二次求导法得出函数的最小值，解决恒成立问题．