Question

20．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c．已知a²+b²+5abcosC=0，sin²C=$\frac{7}{2}$sinAsinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC面积的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意及余弦定理化简可得7（a²+b²）=5c²，利用正弦定理化简已知可得${c^2}=\frac{7}{2}ab$，根据余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），即可求得C的值．
（Ⅱ）a=1，由$\left\{\begin{array}{l}{c^2}=\frac{7}{2}b\\ 5{c^2}=7+7{b^2}\end{array}\right.$，解得b的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为15分）
解：（Ⅰ）由题意及余弦定理得，${a^2}+{b^2}+5ab\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=0$，
即7（a²+b²）=5c²．…（2分）
由题意及正弦定理得，${c^2}=\frac{7}{2}ab$．…（4分）
故$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{-\frac{2}{7}{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$．…（6分）
因为C∈（0，π），所以$∠C=\frac{2π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）因为a=1，由（Ⅰ）知，$\left\{\begin{array}{l}{c^2}=\frac{7}{2}b\\ 5{c^2}=7+7{b^2}\end{array}\right.$，解得b=1或b=2．…（10分）
①当b=1时，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；…（12分）
②当b=2时，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（14分）
综上，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．