Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有：S_n=ma_n+1-m（m∈R，m≠0且m≠1）．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若S₃，S₇，S₅，构成等差数列，求实数m的值；
（3）求证：对任意大于1的实数m，S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能构成等差数列．

Answer 1

分析：（1）由公式an=

a1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用题设条件能够导出a_n=ma_n-ma_n-1，由此能够证明{a_n}是等比数列．
（2）由S₃，S₇，S₅构成等差数列，知：2S₇=S₃+S₅，所以2a₇=a₃+a₅，由此能求出实数m的值．
（3）假设S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n构成等差数列，结合题设条件，由等差数列的性质能够推导出2q³ⁿS_n=q⁷ⁿS_n+S_n，因为此方程无解所以假设错误，由此能够证明对任意大于1的实数m，S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能构成等差数列．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=ma₁+1-m，
又m≠0，且m≠1，故a₁=1．
当n≥2时，S_n-1=ma_n-1+1-m，
故a_n=ma_n-ma_n-1，即（m-1）a_n=ma_n-1，
也即

an

an-1

=

m

m-1

≠0，
所以，{a_n}是以1为首项，

m

m-1

为公比的等比数列；
（2）由S₃，S₇，S₅构成等差数列，知：2S₇=S₃+S₅，
即2（ma₇+1-m）=（ma₃+1-m）+（ma₅+1-m），又m≠0，化简得：2a₇=a₃+a₅，
令q=

m

m-1

，则2q⁴-q²-1=0，得q²=1或q2=-

1

2

（舍），
即q=1（舍），q=-1，
由

m

m-1

=-1，解得，m=

1

2

．
（3）假设S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，
S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n构成等差数列，
则2（S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n）=（S₁+S₂+S₃+…+S_n）+（S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n）
即2（ma_3n+1+m-1+ma_3n-2+m-1+…+ma_4n+m-1）
=（ma₁+m-1+ma₂+m-1+…+ma_n+m-1）+（ma_7n+1+m-1+ma_7n+2+m-1+…+ma_8n+m-1），
化简得2m（S_4n-S_3n）=mS_n+m（S_8n-S_7n），
又知(S4n-S3n)=q3nSn，(S8n-S7n)=q7nSn，
可得2q³ⁿS_n=q⁷ⁿS_n+S_n，（*）
而m＞1，所以q＞1，S_n＞0，
且1+q⁷ⁿ＞2

q7n

＞2

q6n

=2q³ⁿ，故（*）无解
所以假设错误，
故对任意大于1的实数m，
S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能构成等差数列．

点评：本题考查等比数列的证明，实数值的求法，等差数列的证明，考查数列知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．