Question

8．已知抛物线y²=2px（p＞0）过定点A（1，1），B，C是抛物线上异于A的两个动点，且AB⊥AC．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求证：直线BC恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线方程将A（1，1）代入，即可求得p的值，写出抛物线方程；
（Ⅱ）设出B和C点坐标及直线BC方程，代入抛物线方程，求得关于y的一元二次方程，求得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，求得k_AB•k_AC=-1，即可求得m的值，写出直线BC方程，
即可证明恒过定点（2，-1）．

解答 解：（Ⅰ）由题意得1²=2p×1，
∴$p=\frac{1}{2}$，
∴所求抛物线的方程为y²=x．
（Ⅱ）证明：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC：x=my+t，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+t\\{y^2}=x\end{array}\right.$得：y²-my-t=0，△＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-t，
由AB⊥AC，
k_AB•k_AC=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{1}{{y}_{1}+1}$•$\frac{1}{{y}_{2}+1}$=-1，
∴y₁•y₂+y₁+y₂+1=-1，
∴-t+m=-2，
∴t=m+2，
∴BC：x=m（y+1）+2，
所以直线BC恒过定点（2，-1）．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，证明直线AB必过定点时，要熟练掌握其中设而不求的解题思想，考查韦达定理的运用，属于中档题．