Question

11．已知数列{a_n}、{b_n}满足a_n=$\frac{n}{2}$${•b}_{n}+{2}^{n-1}•{b}_{n+1}$，b_n=1-（-1）ⁿ，设数列{a_n}前n项和为S_n，则S₂₀₁₆的值为（　　）

• A． 1008²+2（2¹⁰⁰⁸-1）
• B． 1007×1008+2（2¹⁰⁰⁸-1）
• C． 1008²+$\frac{4}{3}$（4¹⁰⁰⁸-1）
• D． 1007×1008+$\frac{4}{3}$（4¹⁰⁰⁸-1）

Answer 1

分析 由数列{a_n}、{b_n}的关系写出a₁、a₂、a₃、a₄等找出其关系，利用等比数列及等差数列的关系求出S₂₀₁₆．

解答 解由${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}2，&n为奇数\\ 0，&n为偶数\end{array}\right.n∈N*$，
a₁=1，
${a}_{2}={2}^{2}$，
a₃=3，
${a}_{4}={2}^{4}$，
…
a₂₀₁₅=2015，
${a}_{2016}={2}^{2016}$．
则S₂₀₁₆=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆
=（1+3+5+…+2015）+（2²+2⁴+2⁶+…+2²⁰¹⁶）
=1008²+$\frac{4}{3}$（4¹⁰⁰⁸-1）．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、分类讨论方法、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．