题目内容
11．自然数k满足如下性质：在1，2，…，2012中取出k个不同的数，使其中任意两个数之和不被这两个数之差整除，求k的最大值．分析 因为要最多，所以从1开始取，首先可以肯定两个数间隔为1或者2都不可以，这个题的答案就是间隔为3取数，1、4、7、…、2012 一共671个数．
解答 解：因为要最多，所以从1开始取，首先可以肯定两个数间隔为1或者2都不可以，这个题的答案就是间隔为3取数，1、4、7、…、2012 一共671个数．
下面进行证明．因为取得数都是除以3余1，所以任意两个数3a+1，3b+1，那么两个数的和3（a+b）+2，肯定不能被3整除．再看两个数的差3（a-b）肯定是3的倍数，如果想要和可以整除差，那么和必须可以整除3，上面已经证明任意两个数的和不能整除3，所以任意两个数的和肯定不能整除两个数的差所以这题的答案是每隔3取一个数，当然取的数不能整除3．也可以2、5、8、…、2009 这样比1 4 7 的少，所以最多的取法是1、4、7、…、2012共671个，
所以k的最大值为671．
点评 本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，确定间隔为3取数是关键．
练习册系列答案
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