Question

已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.

(1) 求四棱锥的体积；

(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；

(3) 若点为的中点，求二面角的大小.

Answer 1

解：(1) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，

侧棱底面，且.                    …………2分

∴，

即四棱锥的体积为.                 …………4分

(2) 不论点在何位置，都有.               …………5分

证明如下：连结，∵是正方形，∴.         

∵底面，且平面，∴.      

又∵，∴平面.                   …………8分

∵不论点在何位置，都有平面. 

∴不论点在何位置，都有.                     …………9分

(3) 解法1：在平面内过点作于，连结.

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

从而△≌△，∴.

∴为二面角的平面角.            …………12分

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，    …………13分

∴，即二面角的大小为.  …………14分

（3）解法2：建立空间直角坐标系如图

.使C(0,0,0),，从而

，，，. …………10分

设平面和平面的法向量分别为

，，

由，取.      …………11分

由，取.  …………12分

设二面角的平面角为，则，         …………13分

  ∴，即二面角的大小为.        …………14分