Question

19．在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{3}$，P为矩形内一点，且AP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），则$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\frac{3+\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 设P（x，y），B（$\sqrt{5}$，0），C（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$），D（0，$\sqrt{3}$），推导出${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}$，$x+y=\sqrt{5}λ+\sqrt{3}μ$，由此能求出$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ的最大值．

解答 解：如图，设P（x，y），B（$\sqrt{5}$，0），C（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$），D（0，$\sqrt{3}$），
∵AP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}$，
点P满足的约束条件为：$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{5}}\\{0≤y≤\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），∴（x，y）=$λ（\sqrt{5}，0）+μ（0，\sqrt{3}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}λ}\\{y=\sqrt{3}μ}\end{array}\right.$，∴$x+y=\sqrt{5}λ+\sqrt{3}μ$，
∵$x+y≤\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$=$\sqrt{2×\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
当且仅当x=y时取等号，
∴$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ=x+y的最大值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查代数式的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．