题目内容
5．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.4x+0.8，（0≤x≤5）}\\{9，（x＞5）}\end{array}\right.$，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）要使甲厂有盈利，求产量x的范围；
（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
分析 （1）由G（x）=2.8+x．通过f（x）=R（x）-G（x得到解析式；
（2）利用分段函数分别盈利时，取得x的范围，即可．
（3）当x＞5时，当0≤x≤5时，分别求解函数的最大值即可．
解答 解：（1）由题意得G（x）=2.8+x． …（2分）
f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+2.4x-2，（0≤x≤5）}\\{6.2-x，（x＞5）}\end{array}\right.$，…（5分）
（2）①当0≤x≤5时，由-0.4x2+2.4x-2＞0，得：x2-6x+5＜0，解得1＜x＜5．
所以：1＜x＜5． …（7分）
②当x＞5时，由6.2-x＞0解得 x＜6.2． 所以：5＜x＜6.2．
综上得当1＜x＜5或5＜x＜6.2时有y＞0． …（9分）
所以当产量大于100台，小于620台时，且不为500台时，能使工厂有盈利．…（10分）
（3）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=1.2（万元）．
当0≤x≤5时，函数f（x）=-0.4（x-4）2+3.6，
当x=3时，f（x）有最大值为1.6（万元）．
答：当工厂生产300台时，可使赢利最大为1.6万元． …（15分）
点评 本题考查实际问题的应用，分段函数的应用，函数的最大值的求法，考查转化思想以及计算能力．
练习册系列答案
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16．若函数f（x）=ax3-x2+x-5在（-∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
| A． | a＞$\frac{1}{3}$ | B． | a＜$\frac{1}{3}$ | C． | a≤$\frac{1}{3}$ | D． | a≥$\frac{1}{3}$ |