Question

16．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=-15，S₅=-55．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式S_n＞t对于任意的n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则由a₁=-15，${s_5}=5{a_1}+\frac{5×4}{2}d$，
得-15×5+10d=-55，
解得d=2，
∴a_n=-15+（n-1）•2=2n-17，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-17．
（2）由（1）得${S_n}=\frac{n（-15+2n-17）}{2}={n^2}-16n$，
∵${S_n}={n^2}-16n={（n-8）^2}-64≥-64$，
∴对于任意的n∈N*，S_n≥-64恒成立，
∴若不等式S_n＞t对于任意的n∈N*恒成立，则只需t＜-64，
因此所求实数t的取值范围为（-∞，-64）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．