Question

斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱AA₁与底面两边AB、AC都成60°的角.求这个三棱柱的侧面积.

Answer 1

解法一：如图，过A₁作A₁H⊥底面ABC于H，作A₁E⊥AB于E，作AF⊥AC于F，连结HE、HF，则HE⊥AB，HF⊥AC.

Rt△A₁AE≌Rt△A₁AFAE=AF.

在Rt△AEH和Rt△AFH中，

Rt△AEH≌Rt△AFH，即H在∠BAC的角平分线上，由于△ABC为正三角形，故BC⊥AH，而AH又是AA₁在底面ABC内的射影，故AA₁⊥BC.

又BB₁∥AA₁∥CC₁，故四边形BB₁C₁C是矩形.

∴S_侧=+S_矩形BCC1B

=2×4×5sin60°+4×5=20(1+).

解法二：如图，过B作BH⊥AA₁于H，连HC.

△HAB≌△ACH∠AHC=∠AHB=90°.

∴CH⊥AA₁,BH⊥AA₁.故平面BHC是斜三棱柱的一个直截面.

∴S_侧=AA₁(BH+HC+CB)

在Rt△AHB中，BH=ABsin60°=，

∴S_侧=4（2×+5）=20(1+).