Question

（1）在抛物线y=x²上哪一点的切线平行于直线4x-y+1=0？由哪一点的切线垂直于这一直线？
（2）过原点作曲线C：y=e^x的切线，求切点T的坐标．
（3）已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax²相切，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,直线与圆

分析：（1）设出切点，求出导数，由两直线平行和垂直的条件即可得到斜率，解方程即可得到切点，
（2）设出切点，求出导数，得到切线斜率，再由两点的斜率公式，即可得到切点；
（3）设出切点，求出导数，由已知切线，求得斜率，再由切点在切线上和曲线上，得到方程，解方程即可得到a．

解答： 解：（1）设切点为（m，m²），y=x²的导数为y′=2x，
由切线平行于直线4x-y+1=0，可得2m=4，
即有m=2，即有切点为（2，4）．
设切点为（n，n²），
由切线垂直于直线4x-y+1=0，可得2n=-

1

4

，
即有n=-

1

8

，即有切点为（-

1

8

，

1

64

）．
故在（2，4）处的切线平行于直线4x-y+1=0，
在（-

1

8

，

1

64

）处的切线垂直于直线4x-y+1=0；
（2）设切点T（a，e^a），
y=e^x的导数为y′=e^x，
则切线的斜率为k=e^a，
由切线过原点，则有切线方程为y=e^ax，
又e^a=ae^a，解得a=1，
即有切点T（1，e）；
（3）设切点为（s，t），
y=ax²的导数为y′=2ax，
则切线的斜率为2as，
由直线x-y-1=0与抛物线y=ax²相切，
则2as=1，t=s-1，t=as²，
解得s=2，t=1，a=

1

4

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查两直线的平行和垂直的条件，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，运用导数的几何意义和直线的斜率是解题的关键．