Question

16．已知非零向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow{e_1}$-$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=k$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$，给出以下结论：
①若$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$不共线，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，则k=-2；
②若$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$不共线，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，则k=2；
③存在实数k，使得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线，$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$共线；
④不存在实数k，使得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线，$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$共线．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用向量共线，列出方程，求出k判断①②是正误；利用$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$共线，推出$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的关系，求出k，判断③④的正误．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow{e_1}$-$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=k$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$，
$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$不共线，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，可得：λ$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$，即：2λ=k，-λ=1，解得k=-2．
所以①正确，②错误；
$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$共线；
可得：$\overrightarrow{e_1}$=m$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow{e_1}$-$\overrightarrow{e_2}$=（m-1）$\overrightarrow{e_2}$，
$\overrightarrow b$=k$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$=（km+1）$\overrightarrow{e_2}$，
可得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，
所以③错误，④正确．
故选：B．

点评 本题考查向量共线的充要条件的应用，命题的真假的判断，考查计算能力．