题目内容

已知函数 $数学公式$ 其中b，c为常数且满足f（1）=5，f（2）=6．
（1）求b，c的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（0，1）上是减函数；
（3）求函数 $数学公式$ 的值域．

解：（1） $\text{[math]}$ ，
由题意得， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
（2）设x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂， $\text{[math]}$ ，
则f（x₂）-f（x₁）=（2x₂+ $\text{[math]}$ +1）-（ $\text{[math]}$ ）
=2（x₂-x₁）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
因为x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在区间（0，1）上是减函数；
（3）由（2）知函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，易知在（1，+∞）上是增函数，
当x∈[ $\text{[math]}$ ，3]时，f（x）_min=f（1）=5，
又f（ $\text{[math]}$ ）=6，f（3）= $\text{[math]}$ ，f（3）＞f（ $\text{[math]}$ ），所以 $\text{[math]}$ ．
所以f（x）的值域为[6， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由f（1）=5，f（2）=6，列方程组即可解得；
（2）定义法：设x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，通过作差证明f（x₂）＜f（x₁）；
（3）根据（2）问结论判断函数f（x）在[ $\text{[math]}$ ，3]上的单调性，由单调性可求函数的最值，从而可得其值域；
点评：本题考查函数的单调性的判定及其应用，属基础题，定义研究函数单调性的基本方法．