Question

设数列满足a₁=2，a_n+1=a_n+，(n=1，2，3，…)

（1）证明a_n>对一切正整数n成立；

（2）令b_n=，(n=1，2，3，…)，判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（1）证法一：当n=1时，a1=2>，不等式成立． 假设n=k时，ak>成立． 当n=k+1时， ． ∴n=k+1时，ak+1>时成立． 综上由数学归纳法可知，an>对一切正整数成立． 证法二：当n=1时，a1=2>结论成立． 假设n=k时结论成立，即ak>． 当n=k+1时，由函数f(x)=x+(x>1)的单增性和归纳假设有 ak+1=ak+ 因此只需证： ． 而这等价于     显然成立． 所以当n=k+1时，结论成立． 因此，an>对一切正整数n均成立． 证法三：由递推公式得 ， ， … ． 上述各式相加并化简得 =2n+2>2n+1    (n³2)． 又n=1时，an>明显成立，故 an>  (n=1，2，…)． （2）解法一： ． 故bn+1<bn． 解法二： （由（1）的结论） 所以bn+1<bn． 解法三： 故，因此bn+1<bn．