Question

12．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinA=bsinB+（c-b）sinC．
（1）求A；
（2）若等差数列{a_n}的公差不为零，且a₁cosA=1，且a₂、a₄、a₈成等比数列，求{${\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理余弦定理即可得出A．
（2）a₁cosA=1，由（1）知$A=\frac{π}{3}$，a₁=2．由a₂、a₄、a₈成等比数列，可得$a_4^2={a_2}{a_8}$，由数列{a_n}为等差数列，可得（2+3d）²=（2+d）（2+7d），解得d，可得数列{a_n}的通项公式a_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵asinA=bsinB+（c-b）sinC，
∴由正弦定理得：a²=b²+c²-bc，
再由余弦定理知$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵a₁cosA=1，由（1）知$A=\frac{π}{3}$，∴a₁=2，
又∵a₂、a₄、a₈成等比数列，∴$a_4^2={a_2}{a_8}$，
∵数列{a_n}为等差数列，∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），
又∵公差d≠0，解得d=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n，
设${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，则数列$\left\{{\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的通项公式${b_n}=\frac{4}{{4n（{n+1}）}}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴前n项和${S_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．