Question

14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$） 的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（　　）

• A． 关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称
• B． 关于直线x=$\frac{π}{12}$对称
• C． 关于点（$\frac{5}{12}$π，0）对称
• D． 关于直线x=$\frac{5}{12}$π对称

Answer 1

分析 由已知其周期公式可求ω=2，再由f（x）=sin（2x+φ）向左移$\frac{π}{6}$个单位得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）为奇函数，则有$\frac{π}{3}$+φ=kπ（k∈Z），|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求 φ 代入选项检验．

解答 解：由已知T=$\frac{2π}{ω}$，则ω=2，
f（x）=sin（2x+φ）向左移$\frac{π}{6}$个单位得f（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）为奇函数，
则有：$\frac{π}{3}$+φ=kπ（k∈Z），
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，可得：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
代入选项检验，当x=$\frac{5π}{12}$时，f（$\frac{5π}{12}$）=sin$\frac{π}{2}$=1为函数的最大值，
根据三角函数的性质可知对称轴处将取得函数的最值，D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，由三角函数的部分图象的性质求解函数的解析式的关键是要熟练应用函数的性质，还要注意排除法在解题中的应用，属于基础题．