Question

17．如图，平面四边形ABCD中，AB=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{3}$，∠CBD=30°，∠BCD=120°．
（1）求BD的长；
（2）求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 （1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；
方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；
（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．

解答 解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：
$\frac{BD}{sin∠BCD}=\frac{CD}{sin∠CBD}$，即$\frac{BD}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{1}{2}}}$…（3分）
解得BD=3…（4分）
方法二：由已知得∠BDC=30°，故$BC=DC=\sqrt{3}$…（1分）
由余弦定理得：
BD²=CD²+BC²-2CD•BC•cos∠BCD
=${（\sqrt{3}）}^{2}+{（\sqrt{3}）}^{2}-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×cos120°=9$   …（4分）
∴BD=3…（5分）
（2）在△ABD中，由余弦定理得：
$cos∠ADB=\frac{{A{D^2}+B{D^2}-A{B^2}}}{2AD•BD}=\frac{{{{（2\sqrt{2}）}^2}+{3^2}-{{（\sqrt{5}）}^2}}}{{2×2\sqrt{2}×3}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（7分）
∴∠ADB=45° …（8分）
由已知∠BDC=30°…（9分）
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）

点评 本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．