Question

从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM•OP=12．
（1）求点P轨迹的极坐标方程；（2）设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．

Answer 1

分析：（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ₀，θ），则ρρ₀=12，由ρ₀cosθ=4，得到ρ=3cosθ即为所求；
（2）由（1）知，点P的轨迹以（

3

2

，0）为圆心，半径为

3

2

的圆，显然圆与x轴的交点（除原点）与直线x=4的最小距离为1，所以RP的最小值为1．

解答：解：（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ₀，θ），
则ρρ₀=12．
∵ρ₀cosθ=4，
∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程．
（2）由（1）知P的轨迹是以（

3

2

，0）为圆心，半径为

3

2

的圆，
而直线l的解析式为x=4，
所以圆与x轴的交点坐标为（3，0），
易得RP的最小值为1

点评：考查学生综合运用直线与圆方程解决数学问题的能力，以及会求简单曲线的极坐标方程．