Question

8．已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A，B，C，D编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．
（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；
（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X，求随机变量X的分布列和期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，利用古典概型的概率公式计算即可；
（Ⅱ） 由题意可得随机变量X的取值可能为：1，2，3，分别求其概率，可得分布列为，进而可得数学期望．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，
则P（E）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{9}{55}$．    …（4分）
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．  …（5分）
∵P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{1}{165}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{（C}_{4}^{1}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{1}）}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{68}{165}$，
 P（X=3）=$\frac{3{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{32}{55}$，…（10分）
∴随机变量X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{165}$	$\frac{68}{165}$	$\frac{32}{55}$

…（11分）
∴EX=1×$\frac{1}{165}$$+2×\frac{68}{165}$$+3×\frac{32}{55}$=$\frac{85}{33}$．   …（13分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，属中档题．