Question

11．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B₁M与D₁N所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{30}}{10}$a
• C． -$\frac{\sqrt{30}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{15}$a

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出B₁M与D₁N所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则B₁（2，2，2），M（1，1，0），D₁（0，0，2），N（1，0，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（-1，-1，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=（1，0，-2），
设B₁M与D₁N所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}M}，\overrightarrow{{D}_{1}N}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}M}，\overrightarrow{{D}_{1}N}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}M}|•|\overrightarrow{{D}_{1}N}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴B₁M与D₁N所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．