Question

△ABC中，

m

=（sinA，cosC），

n

=（cosB，sinA），

m

•

n

=sinB+sinC．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，结合正、余弦定理转化为边之间的关系，即可证得△ABC为直角三角形；
（2）设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c，根据△ABC外接圆半径为1，A=

π

2

，可得a=2，从而b+c=2（sinB+cosB）=2

2

•sin（B+

π

4

），故可求b+c的取值范围，从而可求△ABC周长的取值范围．

解答：（1）证明：∵

m

=（sinA，cosC），

n

=（cosB，sinA），

m

•

n

=sinB+sinC，
∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC．
∴由正弦定理得：acosB+acosC=b+c
由余弦定理得a•

a2+c2 -b2

2ac

+a•

a2+b2-c2

2ab

=b+c，
整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0．
∵b+c＞0，
∴a²=b²+c²，故△ABC为直角三角形．
（2）解：设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c．
∵△ABC外接圆半径为1，A=

π

2

，∴a=2，
∴b+c=2（sinB+cosB）=2

2

•sin（B+

π

4

）．
∵0＜B＜

π

2

，∴

π

4

＜B+

π

4

＜

3π

4

，
∴2＜b+c≤2

2

，∴4＜a+b+c≤2+2

2

，
故△ABC周长的取值范围为（4，2+2

2

]．

点评：本题考查向量的数量积，考查正、余弦定理的运用，考查三角函数的性质，正确运用正、余弦定理是解题的关键．