Question

5．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC₁垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]、{3$\sqrt{2}$}（用集合表示）

Answer 1

分析 由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．

解答 解：连结A₁B，A₁D，BD，则AC₁⊥平面A₁BD，
∴AC₁⊥A₁B
设平面α与平面ABB₁A₁的交线为EF，
则AC₁⊥EF，
∴EF∥A₁B，
同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，
设$\frac{EF}{{A}_{1}B}$=λ，则$\frac{{B}_{1}E}{{A}_{1}{B}_{1}}$=B₁E=λ，∴$\frac{DE}{{B}_{1}{D}_{1}}$=1-λ，
∴EF+DE=$\sqrt{2}$λ+$\sqrt{2}$（1-λ）=$\sqrt{2}$，
同理可得六边形其他相邻两边的和为$\sqrt{2}$，
∴六边形的周长l为定值3$\sqrt{2}$．
∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，
最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×6$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当截面为正三角形时，截面面积最小，
最小面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{3\sqrt{3}}}{4}]$，$\{3\sqrt{2}\}$．

点评 本题考查了利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，属于难题．