Question

14．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=45°，AB=AC=AE=2EF，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．
（1）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
（2）求二面角A-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出△EFG≌△ABC，从而BC=2FG．连接AF，推导出四边形AFGM为平行四边形，从而GM∥FA，由此能证明GM∥平面ABFE．
（2）分别以AB，AC，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC
∴△EFG≌△ABC，
∵AB=2EF，∴BC=2FG．…（1分）
连接AF，则$FG∥BC，FG=\frac{1}{2}BC$．…（2分）
在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点，
则$AM∥BC，AM=\frac{1}{2}BC$，
∴FG∥AM，FG=AM，∴四边形AFGM为平行四边形．…（3分）
∴GM∥FA，FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．…（5分）
解：（2）分别以AB，AC，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．…（6分）
不妨设AB=AC=2，
则由题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），F（1，0，2）
平面ABF的法向量为$\overrightarrow{u}$=（0，1，0）…（7分）
$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1）…（9分）
设二面角A-BF-C的平面角为θ，
则$cosθ=|{\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow u}{|\overrightarrow n||\overrightarrow u|}}|=\frac{2}{3}$．
∴二面角A-BF-C的余弦值为$\frac{2}{3}$．…（10分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．