题目内容
15．已知离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$的双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S${\;}_{△OM{F}_{2}}$=16，则双曲线C的实轴长是（ ）| A． | 32 | B． | 16 | C． | 8 | D． | 4 |
分析 求得双曲线C一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．
解答 解：设F2（c，0），双曲线C一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得|F2M|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即有|OM|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
由S${\;}_{△OM{F}_{2}}$=16，可得$\frac{1}{2}$ab=16，
即ab=32，又a2+b2=c2，且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得a=8，b=4，c=4$\sqrt{5}$，
即有双曲线的实轴长为16．
故选：B
点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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