Question

16．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏．
（1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（$\sqrt{3}$+1）米，求栅栏PQ的长；
（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500$\sqrt{3}$平方米，问AP，AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？

Answer 1

分析 （1）依题意，∠AQP=45°，由正弦定理：$\frac{AP}{{sin{{45}°}}}=\frac{AQ}{{sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$，可得$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$利用特殊角的三角函数值即可计算得解PQ的值．
（2）设AP=x米，AQ=y米，利用三角形面积公式可求xy=10000，进而可求$x+y≥2\sqrt{xy}=200$，设△ABC的周长为L，则L=$x+y+\sqrt{{x^2}+{y^2}+xy}$=$x+y+\sqrt{{{（x+y）}^2}-10000}$，令x+y=t，L=$t+\sqrt{{t^2}-10000}$在定义域上单调增，利用二次函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为16分）
解：（1）∵依题意，∠AQP=45°，由正弦定理：$\frac{AP}{{sin{{45}°}}}=\frac{AQ}{{sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$，…（2分）
∴得$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$，…（3分）
∵$sin{15°}=sin（{45°}-{30°}）=sin{45°}cos{30°}-cos{45°}sin{30°}=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$，…（5分）
∴$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}=\frac{{100（\sqrt{3}+1）}}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}}$$⇒PQ=100\sqrt{6}$…（7分）
（2）设AP=x米，AQ=y米．
则$S=\frac{1}{2}xysin{120°}=2500\sqrt{3}$⇒xy=10000，…（9分）
$x+y≥2\sqrt{xy}=200$，…（11分）
设△ABC的周长为L，则L=$x+y+\sqrt{{x^2}+{y^2}+xy}$=$x+y+\sqrt{{{（x+y）}^2}-10000}$，…（12分）
令x+y=t，L=$t+\sqrt{{t^2}-10000}$在定义域上单调增，
所以${L_{min}}=200+100\sqrt{3}$，当x=y=100取等号；…（15分）
答：（1）$PQ=100\sqrt{6}$米；
（2）当AP=AQ=100米时，三角形地块APQ的周长最小．…（16分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理，二次函数的图象和性质的运用，属于中档题．