题目内容
4．己知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：bn=an+（-1）nln（3an），求数列{bn}的前n项和Sn．
分析 （1）设数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由bn=an+（-1）nln（3an）=$\frac{1}{{2}^{n}}$+（-1）n（ln3-nln2）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）nnln2+（-1）nln3，利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和Sn．
解答 解：（1）设数列{an}的公比为q，
∵等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2{a}_{1}q=1}\\{（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}=4{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{5}}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
故数列{an}的通项公式为${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）bn=an+（-1）nln（3an）=$\frac{1}{{2}^{n}}$+（-1）n（ln3-nln2）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）nnln2+（-1）nln3，
∴Sn=（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）+[-1+2-3+…+（-1）nn]ln2+[-1+1-1+…+（-1）n]ln3，
当n为奇数时，Sn=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+（$\frac{n-1}{2}-n$）ln2-ln3=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{2}ln2$-ln3．
当n为偶数时，Sn=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n}{2}$ln2=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{2}$ln2．
综上，${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n+1}{2}ln2-ln3，n为奇数}\\{1-\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{n}{2}ln2，n为偶数}\end{array}\right.$．
点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质和分组求和法及分类讨论思想的合理运用．
