Question

14．已知二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中的第5项为常数，求展开式中x$\sqrt{x}$项的系数．

Answer 1

分析 由条件利用二项式展开式的通项公式，根据当r=4时，$\frac{n-12}{2}$=0，求得n=12，在二项式展开式的通项公式中令x的指数等于$\frac{3}{2}$，求得r的值，可得展开式中x$\sqrt{x}$项的系数．

解答 解：二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中的通项公式为T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{n-3r}{2}}$，根据题意，当r=4时，$\frac{n-12}{2}$=0，
解得n=12，
故展开式中的通项公式为T_r+1=${C}_{12}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{12-3r}{2}}$．
令$\frac{12-3r}{2}$=$\frac{3}{2}$，求得r=3，故展开式中x$\sqrt{x}$项的系数为${C}_{12}^{3}$•（-8）=-1760．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．