Question

13．已知点P（1，-2），Q（-1，-1），O（0，0），点M（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1≥0}\\{2x+y-5≤0}\\{y≤x+2}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，则|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，5]
• B． [$\frac{1}{2}$，5]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{5}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，25]

Answer 1

分析 分别作出不等式组表示的平面区域，由于|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$|²=$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$，其几何意义表示到点A（0，3）的距离取值范围，通过图象观察，求得A（0，3）到直线的距离，即可得到所求最小值，到点D可得到所求最大值

解答 解：画出不等式组所表示的平面区域，
由于P（1，-2），Q（-1，-1），O（0，0），点M（x，y），
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$=（x，y-3），
∴|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$|²=$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$，
其几何意义表示到点A（0，3）的距离取值范围，
则最小距离为点A到直线x-y+2=0的距离，即为$\frac{|0-3+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则最大距离为点A到点D的距离，即为$\sqrt{{3}^{2}+（3+1）^{2}}$=5，
∴则|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，5]，
故选：A．

点评 本题考查两点的距离的最小值的求法，注意运用数形结合的思想方法，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．