Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，${a_1}=-\frac{2}{3}$，满足${S_n}+\frac{1}{S_n}+2={a_n}（n≥2）$．
（1）计算S₁，S₂，S₃，猜想S_n的一个表达式（不需要证明）．
（2）设${b_n}=\frac{S_n}{{{n^2}+n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：${T_n}＞-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）因为a_n=S_n-S_n-1（n≥2），代入计算，即可得到所求和猜想S_n的一个表达式；
（2）由（1）${b_n}=-\frac{1}{n（n+2）}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，再由裂项相消求和可得前n项和为T_n，由不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）因为a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
所以${S_n}+\frac{1}{S_n}+2={S_n}-{S_{n-1}}$，
由此整理得${S_n}=-\frac{1}{{2+{S_{n-1}}}}$，
于是有：${S_1}=-\frac{2}{3}，{S_2}=-\frac{3}{4}，{S_3}=-\frac{4}{5}$，
猜想：${S_n}=-\frac{n+1}{n+2}$…（6分）
（2）证明：由（1）${b_n}=-\frac{1}{n（n+2）}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
于是：${T_n}=-\frac{1}{2}[（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n+2}）]=-\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$…（10分）
又因为$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{3}{2}$，所以${T_n}＞-\frac{3}{4}$．                         …（12分）

点评 本题考查数列的求和，注意运用猜想法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．