Question

设n是正整数，由数列1，2，3…n分别求相邻两项的和，得到一个有n-1项的新数列：1+2，2+3，3+4，…（n-1）+n即3，5，7…，2n-1，对这个新数列继续上述操作，这样得到为一系列数列，最后一个数列只有一项．
（1）记原数列为第一个数列，则第三个数列的第j（j∈N^*且1≤j≤n-2）项是

 

；
（2）最后一个数列的项是

 

．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：首先根据题意写出第三个数列；然后由题意可知最后一个数列的项an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），即

an

2n

，即数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

4

的等差数列，进而求出最后一个数列的项即可．

解答： 解：由题意可得：第一个数列是1，2，3…n，
第二个数列是：3，5，7，…2n-1，
第三个数列是：8，12，16，20…4n+4，
∴第三个数列的第j（j∈N^*且1≤j≤n-2）项是4j+4；
（2）由题意可知最后一个数列的项an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），
即由题意可知最后一个数列的项an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），
即

an

2n

，
所以数列{

an

2n

，}是首项为

1

2

，公差为

1

4

的等差数列；
所以a_n=（n+1）•2^n-2（n∈N^*），
即最后一个数列的项是 （n+1）•2^n-2（n∈N^*）．
故答案为：4j+4；（n+1）•2^n-2（n∈N^*）．

点评：本题主要考查了等差数列性质的运用，考查了构造法的运用，属于中档题，解答此题的关键是构造并判断出数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

4

的等差数列．