Question

4．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd³，与此类似，我们可以得到：
（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma³；
（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na³；
（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta³；
那么m：n：t=（　　）

• A． 1：6$\sqrt{2}$：4
• B． $\sqrt{2}$：12：16
• C． $\frac{\sqrt{2}}{12}$：1：$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$：6：4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出正四面体、正方体、正八面体的体积，类比推力即可得出．

解答 解：由题意，正四面体的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³；
正方体的体积V=a³；正八面体的体积V=2×$\frac{1}{3}{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a³，
∴m：n：t=1：6$\sqrt{2}$：4，
故选A．

点评 本题考查了正四面体、正方体、正八面体的体积计算公式、类比推力，属于中档题．