Question

已知函数f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x），g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[

19π

24

，π]时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的余弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=

1

2

cos2x-

1

4

，即可求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）先求解析式h（x）=

2

2

cos(2x+

π

4

)，由x∈[

19π

24

，π]，可得

11π

6

≤2x+

π

4

≤

9π

4

，可求

2

2

≤cos(2x+

π

4

)≤1，从而可求最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）
=（

1

2

cosx-

3

2

sinx）（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x
=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，…4分
函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π…5分
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

cos(2x+

π

4

)，…6分
∵x∈[

19π

24

，π]，
∴

11π

6

≤2x+

π

4

≤

9π

4

，
∴

2

2

≤cos(2x+

π

4

)≤1，…8分
∴

1

2

≤

2

2

cos(2x+

π

4

)≤

2

2

，
∴函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值为

1

2

，最小值为

2

2

…10分

点评：本题主要考查了二倍角的正弦公式、两角和与差的余弦函数公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．