Question

已知函数f(x)=x3+ax+b的图象关于坐标原点对称,且与x轴相切.

(1) 求a,b的值;

(2)是否存在实数m, n(mn>0),使函数g(x)=3-|f(x)|在区间[m,n]上的值域仍为区间[m,n]?请说明理由.

Answer 1

 (1) 因为曲线y=f(x)关于坐标原点对称,所以f(x)+f(-x)= 0恒成立,

即x3+ax+b-x3-ax+b=0,于是b=0.

设函数y=f(x)的图象与x轴的切点坐标为(t,0),

则即解得t=0,a=0.

故a=b=0,f(x)=x3.

(2) g(x)=3-|f(x)|=假设存在m,n(mn>0)适合题意.

①当0<m<n时,因为g(x)=3-x3在区间[m,n]上是单调减函数,

所以即

两式相减,得m2+mn+n2=1.

因为0<m<n,所以n2<m2+mn+n2=1,于是0<m<n<1.

从而m3+n<13+1=2<3,与m3+n=3矛盾,故此时m,n不存在.

②当m<n<0时,因为g(x)=3+x3在区间[m,n]上是单调增函数,

所以

于是m,n是方程g(x)=x(即x3-x+3=0)的两个相异负根.

令h(x)=x3-x+3(x<0),则由h'(x)=3x2-1=0得x=-.

因为当x≤-时,h'(x)≥0,所以函数h(x)在区间上是单调增函数,从而函数h(x)在区间上至多有一个零点.

又因为当-<x<0时,h'(x)<0,

所以函数h(x)在区间上是单调减函数,于是h(x)>h(0)=3>0,

所以函数h(x)在区间上没有零点.

故此时m,n不存在.

综上所述,不存在实数m,n(mn>0),使函数g(x)=3-|f(x)|的定义域与值域均为区间[m,n].