Question

12．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin xcos x-3sin²x-cos²x+2．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，sin（2A+C）=2sin A+2sin Acos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质即可求得f（x）的最大值．
（2）由三角函数恒等变换的应用化简得sin C=2sin A，由正弦定理得c=2a．由余弦定理可求cosA的值，进而可求B，代入即可得解f（B）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin 2x-3sin²x-cos²x+2（sin²x+cos²x）
=$\sqrt{3}$sin 2x+cos²x-sin²x
=$\sqrt{3}$sin 2x+cos 2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最大值是2．
（2）由sin（2A+C）=2sin A+2sin Acos（A+C），得：
sin Acos （A+C）+cos Asin（A+C）=2sin A+2sin Acos （A+C）；
化简得sin C=2sin A，
由正弦定理得c=2a．又b=$\sqrt{3}$a，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccos A=3a²+4a²-4$\sqrt{3}$a²cos A，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{2}$，
∴f（B）=f（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{5π}{6}$=1．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．