Question

11．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁、ACC₁A₁都是正方形，AC⊥AB，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}C}$（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：AD⊥A₁B₁；
（Ⅱ）求二面角B-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥AA₁，AC⊥AB，从而AB⊥平面AA₁C₁C，进而AD⊥AB，再由AB∥A₁B₁，能证明AD⊥A₁B₁．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AA₁为y轴，AC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-A₁C-A的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABB₁A₁、是正方形，∴AB⊥AA₁，
∵AC⊥AB，AA₁∩AC=A，AA₁?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵AD?平面AA₁C₁C，∴AD⊥AB，
∵AB∥A₁B₁，∴AD⊥A₁B₁．
解：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AA₁为y轴，AC为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则B（2，0，0），B₁（2，2，0），A₁（0，2，0），C（0，0，2），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，-2），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面BA₁C的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）为平面BA₁C的一个法向量，
∵$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）为平面ACA₁的法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角B-A₁C-A的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．