Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{b}$=（1，3），且（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$的坐标；  
（2）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）设出$\overrightarrow{a}$的坐标，由已知列关于$\overrightarrow{a}$的坐标的方程组，求解方程组得答案；
（2）直接由数量积公式求得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{a}=（m，n）$，∵$\overrightarrow{b}$=（1，3），
∴2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2m+1，2n+3），又|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=5}\\{1×（2m+1）+3（2n+3）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{a}=（-2，-1）$或$\overrightarrow{a}=（1，-2）$；
（2）平面内向量夹角的θ的取值范围是θ∈[0，π]．
∵$\overrightarrow{b}$=（1，3），∴$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{10}$，
当$\overrightarrow{a}=（-2，-1）$时，
cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-2×1-1×3}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为135°；
当$\overrightarrow{a}=（1，-2）$时，
cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1×1-2×3}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为135°．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查了由数量积求斜率的夹角，是中档题．