Question

设{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，其前几项和为S_n．已知S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

1

Sn

，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a₁=d=2，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a_n=2n，利用裂项法可求得b_n=

1

n

-

1

n+1

，从而可证b₁+b₂+…+b_n＜1．

解答：解：（1）∵a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴(a1+d)2=a₁•（a₁+3d），
∴d²=a₁d，又d≠0，
∴a₁=d；
又S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=10a₁+45a₁=110，
∴a₁=d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n．
（2）∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2+4+…+2n=n（n+1），
∴b_n=

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查等差数列的通项公式，考查裂项法求和，考查推理与证明，属于中档题．