Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，$\sqrt{2}$），且其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为$\frac{1}{2}$的直线l交椭圆C于两个不同点A、B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k₁、k₂．
①若直线l过椭圆C的左顶点，求此时k₁、k₂的值；
②试探究k₁+k₂是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和已知点在椭圆上，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①求出直线l的方程，代入椭圆方程，求得交点A，B，再由直线的斜率公式计算即可得到所求；
②k₁+k₂为定值0，设直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t，代入椭圆方程x²+4y²=8，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，代入韦达定理，即可得到定值0．

解答 解：（1）由题意可得b=$\sqrt{2}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）①若直线l过椭圆C的左顶点（-2$\sqrt{2}$，0），
可得直线l：y=$\frac{1}{2}$（x$+2\sqrt{2}$），
代入椭圆x²+4y²=8，可得x²+2$\sqrt{2}$x=0，
解得x=0或-2$\sqrt{2}$，即有A（0，$\sqrt{2}$），B（-2$\sqrt{2}$，0），
可得k₁=$\frac{1-\sqrt{2}}{2-0}$=-$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，k₂=$\frac{1-0}{2+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；
②k₁+k₂为定值0，
理由如下：设直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t，
代入椭圆方程x²+4y²=8，可得x²+2tx+2t²-4=0，
即有△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得-2＜t＜2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-2t，x₁x₂=2t²-4，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}+t-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{\frac{1}{2}{x}_{2}+t-1}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（t-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（t-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
由x₁x₂+（t-2）（x₁+x₂）-4（t-1）=2t²-4-2t（t-2）-4（t-1）=0，
可得k₁+k₂=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率及斜率之和为定值的求法，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．