Question

20．关于函数f（x）=xln|x|的五个命题：
①f（x）在区间（-∞，-$\frac{1}{e}$）上是单调递增函数；
②f（x）只有极小值点，没有极大值点；
③f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（0，1）；
④函数f（x）在x=1处的切线方程为x-y+1=0；
⑤函数g（x）=f（x）-m最多有3个零点．
其中，是真命题的有①⑤（请把真命题的序号填在横线上）．

Answer 1

分析 由x＜0的函数解析式，求出导数，判断符号，即可判断①；
求得x＞0，x＜0的解析式，可得导数和单调区间，可得极值，即可判断②；
讨论x＞0，x＜0，解不等式即可判断③；
求得x=1处的切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程，即可判断④；
令g（x）=0，可得m=f（x），由②求得极值，可得当-$\frac{1}{e}$＜m＜$\frac{1}{e}$时，有3个交点，即可判断⑤．

解答 解：①x＜0时，f（x）=xln（-x）的导数为f′（x）=ln（-x）+1，当x∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＞0，
可得f（x）在区间（-∞，-$\frac{1}{e}$）上是单调递增函数，故①对；
②当x＞0时，可得f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减；
在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增．可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值-$\frac{1}{e}$；
x＜0时，f（x）=xln（-x）的导数为f′（x）=ln（-x）+1，可得f（x）在区间（-∞，-$\frac{1}{e}$）上递增；
在（-$\frac{1}{e}$，0）递减，f（x）在x=-$\frac{1}{e}$处取得极大值$\frac{1}{e}$．故②错；
③f（x）＞0等价为x＞0，xlnx＞0或x＜0，xln（-x）＞0，即为x＞1或-1＜x＜0．故③错；
④函数f（x）在x=1处的切线斜率为1，切点为（1，0），即有切线的方程为y=x-1，故④错；
⑤令g（x）=f（x）-m=0，即有m=f（x），由②可得f（x）在区间（-∞，-$\frac{1}{e}$），（$\frac{1}{e}$，+∞）上递增，
在区间（-$\frac{1}{e}$，0），（0，$\frac{1}{e}$）上递减，且极大值为$\frac{1}{e}$，极小值为-$\frac{1}{e}$，当-$\frac{1}{e}$＜m＜$\frac{1}{e}$时，有3个交点，
即零点个数最多3个．故⑤对．
故答案为：①⑤．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，同时考查函数的零点的个数，注意运用转化思想，考查运算化简能力，属于中档题．