Question

抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1（n∈N^*），交x轴于A_n，B_n两点，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|值为________．

Answer 1

分析：A_n、B_n是抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴的交点，所以其横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，求出一元二次方程的根，根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可
解答：由已知A_n、B_n的横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
即A_n、B_n的横坐标为（n²+n）（x-）（x-）=0的根．
故抛物线与x轴交点坐标为（ ，0）和（ ，0）
由题意，AnBn=．
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|=1-++-+…+=1-=．
故答案为：．
点评：（1）本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；
（2）求两点间的距离时，要利用两点间的坐标差来解答．