Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由对数的真数大于0，解不等式即可得到定义域；
（2）运用奇偶性的定义，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算F（-x）与F（x）比较，即可判断奇偶性；
（3）讨论a＞1，0＜a＜1由对数函数的单调性，解不等式即可得到解集，注意定义域的运用．

解答： 解：（1）由x+1＞0且1-x＞0，解得-1＜x＜1，
即定义域为（-1，1）；
（2）首先定义域（-1，1）关于原点对称，
令F（x）=f（x）+g（x），
则F（-x）=f（-x）+g（-x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）=F（x），
则F（x）为偶函数；
（3）由log_a（1+x）＜log_a（1-x），
当a＞1时，则0＜1+x＜1-x，解得-1＜x＜0；
当0＜a＜1时，则0＜1-x＜1+x，解得0＜x＜1．
综上可得，a＞1时，不等式的解集为（-1，0），
当0＜a＜1时，不等式的解集为（0，1）．

点评：本题考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．