Question

2．已知函数f（x）=ax-e^x（a∈R），g（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x₀）≤g（x₀）-e^x₀成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=a-e^x，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；
（2）由?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）-e^x，即a≤$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．设h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，则问题转化为a≤（ $\frac{lnx}{{x}^{2}}$）_max，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）∵f′（x）=a-e^x，x∈R．
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．
由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（-∞，lna）；
由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．
（2）∵?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）-e^x，
则ax≤$\frac{lnx}{x}$，即a≤$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．
设h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，则问题转化为a≤（ $\frac{lnx}{{x}^{2}}$）_max，
由h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，令h′（x）=0，则x=$\sqrt{e}$
当x在区间（0，+∞） 内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值$\frac{1}{2e}$	单调递减

由上表可知，当x=$\sqrt{e}$时，函数h（x）有极大值，即最大值为$\frac{1}{2e}$．
∴a≤$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．