Question

7．已知两向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=3，
（Ⅰ）求|5$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值
（Ⅱ）求向量5$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用向量的模的运算法则化简求解即可．
（Ⅱ）直接利用向量的数量积的运算公式求解向量的夹角的余弦函数值即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得${|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|^2}={（{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}）^2}=25{\overrightarrow a^2}-10\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}$…（2分）
=$25×{1^2}-10×1×3×（{-\frac{1}{2}}）+{3^2}=49$，…．（4分）
∴$|{5\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=7                               …..（5分）
（Ⅱ）依题意，得（5$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=$5{\overrightarrow{a}}^{2}$$-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=5×1²-1×3×cos120°=$\frac{13}{2}$…..（7分）
$cos＜5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}＞$=$\frac{（5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{13}{2}}{7×1}$=$\frac{13}{14}$…..10分

点评 本题考查向量数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．