Question

1．已知函数f（x）=x|x-2a|（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义判断函数f（x）=x|x-a|的奇偶性；
（2）分类讨论，即可求出在区间[0，1]上的最大值．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-x|x|，则f（-x）=-x|x|=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
当a≠0时，f（1）=|1-2a|，f（-1）=-|1+2a|，
∵|1-2a|+|1+2a|≠0，
∴f（-1）≠f（1），
故f（x）不是偶函数；
又a≠0时，∵|1-2a|≠|1+2a|，
∴f（-1）≠-f（1），
故f（x）不是奇函数，
总之，当a≠0时，函数f（x）是非奇非偶函数．
综上，当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，函数f（x）是非奇非偶函数．
（2）x∈[0，1]时，f（x）=x|x-2a|=|x²-2ax|=|（x-a）²-a²|．
记h（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²．
①当a≤0时，h（x）在区间[0，1]上为增函数，且h（x）≥0．
因此a≤0时，g（a）=h（1）=1-2a，
②当a≥1时，h（x）在区间[0，1]上为减函数，且h（x）≤0．
因此a≥1时，g（a）=-h（1）=2a-1，
③当0＜a＜1时，h（x）在区间[0，a]上为减函数，在[a，1]上为增函数．
因为h（0）=0，h（a）=-a²，h（1）=1-2a，g（a）是|h（a）|=a²与|h（1）|=|1-2a|中较大者．
由（a²）²-（1-2a）²=（a²-2a+1）（a²+2a-1）=（a-1）²（a²+2a-1），
以及0＜a＜1知：
当$0＜a＜\sqrt{2}-1$时，（a²）²-（1-2a）²＜0，a²＜|1-2a|=1-2a；
当$\sqrt{2}-1≤a＜1$时，（a²）²-（1-2a）²≥0，a²＞|1-2a|．
所以，当$0＜a＜\sqrt{2}-1$时，g（a）=1-2a；当$\sqrt{2}-1≤a＜1$时，g（a）=a²．
综合①②③得，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}1-2a{，^{\;}}a＜\sqrt{2}-1\\{a^2}，\sqrt{2}-1≤a＜1\\ 2a-1{，^{\;}}a≥1\end{array}\right.$

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．