Question

19．已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x．
（1）求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）写出函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x，我们根据定义域为R的奇函数的图象必过原点，则f（-x）=-f（x），即可求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）根据（1）中分段函数的解析式，我们易画出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义域在R上的奇函数，
∴当x=0时，f（0）=0；
当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=x²+2x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
∴f（-x）=x²+2x=-f（x），
即f（x）=-x²-2x．
综上：f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x}\\ 0\\{-{x^2}-2x}\end{array}\begin{array}{l}{x＞0}\\{x=0}\\{x＜0}\end{array}}\right.$．
（2）函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x}\\ 0\\{-{x^2}-2x}\end{array}\begin{array}{l}{x＞0}\\{x=0}\\{x＜0}\end{array}}\right.$的图象如下图所示：
则函数的单调递增区间为为[1，+∞），（-∞，-1]，
函数的单调递减区间为为[-1，1]．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调区间的判断，其中根据函数奇偶性的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．